Введём обо­зна­че­ния (см. рис.), где x  — ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти. Фор­му­ла длины окруж­но­сти тогда ра­ди­ус боль­ше окруж­но­сти равен 6. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки AO₁M и AO₂K по­доб­ны по двум рав­ным углам, один из ко­то­рых пря­мой, а вто­рой  — общий. Тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем ра­вен­ство от­но­ше­ний их сто­рон :

Те­перь, ис­поль­зуя тот факт, что рас­сто­я­ние от цен­тра боль­шей окруж­но­сти до вер­ши­ны угла равно 5x + x + 6, имеем По­след­ним шагом на­ше­го ре­ше­ния найдём длину окруж­но­сти по фор­му­ле, при­ведённой выше

Ответ: 8π см.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.), где x  — ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти. Фор­му­ла длины окруж­но­сти тогда ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти равен 2. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки AO₁M и AO₂K по­доб­ны по двум рав­ным углам, один из ко­то­рых пря­мой, а вто­рой  — общий. Тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем ра­вен­ство от­но­ше­ний их сто­рон :

По­след­ним шагом на­ше­го ре­ше­ния найдём длину окруж­но­сти по фор­му­ле, при­ведённой выше

Ответ:

По фор­му­ле C = 2 где C  — длина окруж­но­сти, на­хо­дим ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти R:

Так как окруж­ность опи­са­на, то

где a  — длина сто­ро­ны рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Тогда его пе­ри­метр равен см.

Ответ: см.

По фор­му­ле C = 2 где C  — длина окруж­но­сти, на­хо­дим ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти r:

Так как окруж­ность опи­са­на, то

где   — катет рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Тогда его пе­ри­метр равен см.

Ответ: см.

Пусть AB  — дан­ная хорда, O  — центр дан­ной окруж­но­сти. Тогда OH  — рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды.

Тре­уголь­ник OAB  — рав­но­бед­рен­ный, так как OA  =  OB  =  r. Зна­чит, OH  — ме­ди­а­на, вы­со­та и бис­сек­три­са по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Тогда AH  =  HB=24 : 2  =  12 см.

Тре­уголь­ник OHB  — пря­мо­уголь­ный, так как OH пер­пен­ди­ку­ляр­но AB как вы­со­та. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра:

Вы­чис­лим длину окруж­но­сти по фор­му­ле :

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Опу­стим вы­со­ту BH на сто­ро­ну AD. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH катет BH лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AB, то есть, 2. Тогда пло­щадь ромба равна 8  — про­из­ве­де­нию сто­ро­ны на вы­со­ту. По фор­му­ле пло­ща­ди ромба S  =  pr, где p  — по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае рав­ный 8. По­лу­ча­ем, что r  =  1, а длина окруж­но­сти, ко­то­рую можно найти по фор­му­ле равна

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Опу­стим вы­со­ту BH на сто­ро­ну AD. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH катет BH лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AB, то есть, 4. Тогда пло­щадь ромба равна 32  — про­из­ве­де­нию сто­ро­ны на вы­со­ту. По фор­му­ле пло­ща­ди ромба S  =  pr, где p  — по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае рав­ный 16. По­лу­ча­ем, что r  =  2, а длина окруж­но­сти, ко­то­рую можно найти по фор­му­ле равна

Ответ:

Пусть AC = CB = 10, AB = 12.

1)  Про­ве­дем вы­со­ту CH, ко­то­рая так же яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной, так как тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный. Сле­до­ва­тель­но, AH = HB = 12 : 2 = 6.

Из тре­уголь­ни­ка BCH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем CH:

2)  Центр впи­сан­ной окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка. Про­ве­дем BD  — бис­сек­три­са угла CBA. Она пе­ре­се­ка­ет CH в точке O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти.

3)  OH—ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ответ: 3

Пусть AC = CB = 5, AB = 8.

1)  Про­ве­дем вы­со­ту CH, ко­то­рая так же яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной, так как тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный. Сле­до­ва­тель­но, AH= HB = 8 : 2 = 4.

Из тре­уголь­ни­ка BCH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем CH:

2)  Центр впи­сан­ной окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка. Про­ве­дем BD  — бис­сек­три­са угла CBA. Она пе­ре­се­ка­ет CH в точке O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти.

3)  OH—ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ответ:

Зная длину окруж­но­сти и вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой длины окруж­но­сти, най­дем ра­ди­ус. Пусть длина окруж­но­ти = D, тогда она же равна От­сю­да По фор­му­ле пло­ща­ди окруж­но­сти, а имен­но най­дем ее пло­щадь. Она равна Умно­жим те­перь ее на от­но­ше­ние угла сек­то­ра к об­ще­му углу окруж­но­сти, то есть на По­лу­ча­ем, что пло­щадь сек­то­ра равна

Ответ: 4

Зная длину окруж­но­сти и вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой длины окруж­но­сти, най­дем ра­ди­ус. Пусть длина окруж­но­ти = D, тогда она же равна От­сю­да По фор­му­ле пло­ща­ди окруж­но­сти, а имен­но най­дем ее пло­щадь. Она равна Умно­жим те­перь ее на от­но­ше­ние угла сек­то­ра к об­ще­му углу окруж­но­сти, то есть на По­лу­ча­ем, что пло­щадь сек­то­ра равна

Ответ: 20

Длина окруж­но­сти равна 2πR, тогда

от­ку­да

Так как, по усло­вию CB  =  9, то тре­уголь­ник COB  — рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но,

Так как гра­дус­ная мера цен­траль­но­го угла равна гра­дус­ной мере дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, то дуга

Длина дуги на­хо­дит­ся по фор­му­ле Длина дуги BC равна:

Ответ: 3π.

Длина окруж­но­сти равна 2πR, тогда

от­ку­да

Так как, по усло­вию CB  =  6, то тре­уголь­ник COB  — рав­но­сто­рон­ний. Сле­до­ва­тель­но,

Так как гра­дус­ная мера цен­траль­но­го угла равна гра­дус­ной мере дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, то дуга

Длина дуги на­хо­дит­ся по фор­му­ле Длина дуги BC равна:

Ответ: 2π.